斯卡利让他不要急，坐下来再说。两个人坐定，平素沉默寡言的福明坐在那里，一时开不了口。看来，他太激动了，需要镇静一下。然后，他提出了一个建议：“或许有一条出路。如果我们答应在联合国视察下撤走我们的导弹，同时赫鲁晓夫先生答应不再向古巴运进这类进攻性武器，你认为这个建议如何？美国总统是不是愿意公开答应不侵略古巴？”斯卡利说，他不知道，不过他愿意去试一试。福明说，你可以从国务院的朋友那里打听一下。
他掏出笔，写下一个号码，递给了斯卡利，说：“这是我们家的号码，如果我不在使馆，就打这个电话。这是极其重要的。”斯卡利把这个建议带回去，交给国务院情报研究司司长罗杰·希尔斯曼，后者又转给了腊斯克。腊斯克要斯卡利告诉福明，美国注意到谈判的实际可能性，不过，时间是有限的，不能超过48小时。当天晚上，斯卡利与福明再次会面，斯卡利带来了国务卿腊斯克的意见：美国政府对这个建议很感兴趣。福明听说后大喜过望，立即告辞了。
两个小时后，美国驻莫斯科大使馆与国务院之间的专线电传打字机工作起来了，一封赫鲁晓夫的信件传了过来。在这封信中，赫鲁晓夫第一次承认，古巴确实有苏联导弹，运送武器的工作已经完成，言下之意是，美国的封锁没有达到目的。不过，他又说：他深切地渴望和平，让我们不要使局势弄得不可收拾。强行实行隔离只会使苏联采取它自己认为必要的措施，“如果战争果真爆发，这就不是我们的力量所能控制得了的，战争的逻辑就是如此。”赫鲁晓夫建议，如果美国作出不入侵古巴，也不允许别人入侵的保证，局面马上就会改观，因为苏联在古巴存在的必要性就不存在了。
赫鲁晓夫打了一个比方，说危机好比一条中间打上结的绳子，两头越拉，结就会越紧，到头来只好用剑把它砍断，如果两头都把绳子放松，那么结就会解开了。赫鲁晓夫向肯尼迪呼吁：“总统先生，你我现在就不要从两头拉紧那条你们已经打上了战争结头的绳子了。”这个比方对美国人的影响很大，在他们心中留下了长久的印象。执委会立即开会，讨论赫鲁晓夫的建议。结果执委会决定把它作为正式照会接受下来，并于次日晨答复。国务院的苏联问题专家连夜进行研究，而其他人，则可以定定心心地睡一个好觉了。他们将不用担心今天晚上睡下去而明天是不是还能起来的问题了。
可是，第二天情况又有了变化，致赫鲁晓夫的回信还没有拟就，苏联方面的第二封信又传了过来。这一次，赫鲁晓夫似乎不那么激动了。苏联可以撤出部署在古巴的武器，可是，美国也要把部署在土耳其的导弹撤走！这种讨价还价的力度，比起福明提出的建议要厉害得多。执委会着急了，看来战争就要爆发了。美国部署在土耳其的导弹是没有多大价值，但是，如果在苏联的压力下撤出，那么美国的脸面何存！这个条件不能接受。道格拉斯·狄龙后来回忆说：“这个建议就犹如往我们的脸上倒了一桶冰水。”面对两封口气截然不同的信件，执委会真是摸不着头脑。这到底是怎么回事呢？还是总统的弟弟高明。他说，不要理睬第二封信，美国只就第一封信提出的条件答复。真是一言惊醒梦中人。肯尼迪立即向赫鲁晓夫写信。信中说：“我十分仔细地阅读了你10月26日的信，对你渴望寻求一个迅速解决办法的那番话表示欢迎。”
至于说接履而至的第二封信，肯尼迪连提也没有提。肯尼迪说，一旦导弹基地的工作停顿下来，那些进攻性武器不能付诸使用，他就准备按照赫鲁晓夫所提的路子，通过谈判解决问题。罗伯特·肯尼迪亲自把信送往苏联大使馆。他板着面孔说，除非我们在24小时内得到保证，否则美国在星期二一定要采取军事行动。至于说土耳其的导弹问题，虽然总统已经下定决心要撤出这些导弹，但目前不能这样做。言下之意是，只要赫鲁晓夫给肯尼迪一个台阶下，他也会得到一个台阶的。
信发出了，但赫鲁晓夫的真正意图，没有一个人知道。总统说，后果如何，难以预料。麦克纳马拉在回五角大楼的路上，凝望夜空，不由得叹了一口气，说不知道还能再看几次日落。那时候，人们的心情真是一片灰暗。第二天，阳光明媚。9点钟不到，莫斯科电台广播，9点钟有重要新闻。大家把一颗心都提到了嗓子跟上，他们都知道，赫鲁晓夫就要发表声明了。对肯尼迪的建议，他是接受，还是拒绝？这个时候，即使是最有把握的预言家，也不敢口出大言了。不过，如果赫鲁晓夫拒绝了肯尼迪的条件，美国就要发动进攻。麦克纳马拉估计，美国的伤亡将达到4万人以上，而肯尼迪估计，他在一场核大战中丧命的可能性是 25％。
广播员开始播着：“我非常理解您以及美国人民对于您所称为进攻性武器所感到的忧虑，这的确是一种可怕的武器。您和我都了解，这是一种什么性质的武器。为了尽快消除危害和平事业的冲突，苏联政府……已发出一道新命令，撤除你们所谓的进攻性武器， 把它们装箱运回苏联。 ”肯尼迪松了一口气。他对罗伯特说：“也许今天晚上我该去看场戏了。”罗伯特说：“你要是去，我陪你一道去。”
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