有一天，我家附近一家小商店的老板想出了一个有趣的主意。他将满满的一杯糖果放在他的柜台上，并承诺，谁猜中里面有多少块糖果，就把这一整杯糖果送给谁。由于我是数学家，我当然不愿意只是简单地猜一猜，而是要找出糖果的精确数目。可是怎么找？我试图用肉眼估计，一块糖果大约有多大，糖果间的空间多大以及玻璃杯多大。然后我开始计算。但是，可惜我计算出来的数字，跟大多数其他顾客的数字一样，离正确的数字相去甚远。
我们可以看出一只果盘里放着4个还是5个苹果，但是，如果十几种物品放在一起，我们就不能同时看出来了。我们更不可能一眼就看出，多少块糖果装满整只玻璃杯。我们的眼睛同样也不能测定糖块间的距离，使精确度达到毫米之间。只有用专门的仪器才行。所以我所做的糖果数量的测定试验，没有多大成功的希望。但是它是一个很好的例子，可以说明我们数学家如何着手解决一个难题：我们总是要简化一项任务，办法就是，我们把它化为基本数值和这些数值之间的关系——就糖果而言，就是化为糖果数值、糖果间距离数值和玻璃杯数值之间的关系。知道了这些数值，人们才能精确地计算出糖果的数量。
全部数学探讨的就是这样的关系。这在数数时就已经开始了。虽然数数对于我们来说，是世界上最自然不过的事情，这里面还是有着很重要的原则。数数究意是什么意思？为什么1+1=2？你这样问我。为了明白这个道理，你就必须仔细观察，你在数数时做些什么。你如何数玻璃杯里的糖果？你拿一块出来，把它放在桌上。然后你拿第二块出来，把它放在第一块旁边。如果现在有人问你，你拿出来几块糖果，你当然回答：两块!在数数时我们在想像中概括这两块糖果，并说这是两块糖果。所以我们就写1+1=2。
从一个物件向两个物件迈出的这第一步是数数的基础，此后便总是这样继续进行下去。你又从玻璃杯里拿出来一块糖果，桌上就放着2+1块糖果。所以我们说"3块糖果"并写2+1=3。所以数数的意思是从一个数向紧挨着的下一个数前进。这个对数字的原则也可以这样表述：以单位1开始，一边数1，得2，再数1，得3，如此等等。我们数学家认为2是1的继数，3是2的继数，如此等等。因此1+1=2是一个论断，它无非是指2是1的继数。除了继承原则以外，数数时还有别的基本原理。譬如问题不在于你把2块和3块加在一起，还是把3块和2块加在一起。顺序是不重要的。用两种方法你都得到5块糖果。公式是这样的2+3=3+2。
一旦认识了数数的基本原理，人们就能从中推导出别的原理来。譬如2+3=5随后便成为如我们所说的一个数学定理。这就是说，人们只要应用这些基本原理，就能证明2+3=5。
像2+3=5这样简单的事情，人们为什么还要去证明，现在你一定会这样问，在这个例子上你的异议也有一点儿道理，因为没有人会认真断言，说2+3=6。然而经验已经向我们数学家表明，每一个论断，不管是简单的还是深奥的，都应该得到证明，因为已经有几幢高大的理论大厦像纸牌搭成的房子那样倒塌了，原因就是，原以为清楚的相互关系，后来突然被证实是错误的，所以数学是极严格的。每一个不管多么小的步骤都必须有根据，否则一切都有失去控制的危险。为了不让这种事情发生，数学家们在他们这门科学发展的三千多年的历程中，创造了一种很独特的和精确的语言。多亏有了这种语言，每一个数学家才有可能审查另一个数学家做了些什么。不过这样的一种审查，有时可能很艰难，譬如就有十分复杂的数学证明，它们得写满好几百页呢。
可惜像这样一种高度专门化的数学语言，也有其缺点，外行往往根本就不懂得它在说些什么。连一个专家有时在听同行说话时，也会有这样一种感觉：仿佛他到了另一个国家，而又不会讲这个国家的语言，因为数学的领域已经变得十分博大，没有哪个人会什么都知道。但是幸亏数学中也有用简单的话语就能表述的问题。譬如：有一个最大数吗，在它之后不再有别的数了？答案是否定的，因为你总是可以又添上一个1，于是你就有了一个更大的数了。所以数字的顺序1，2，3，等等，用我们的话来说，是无止境的。这种数字顺序的无止境性，导致了一些奇怪的现象：譬如大多数极大，极大的数字人们永远也写不下来，即使人们想出了最机智的缩写词。甚至在整个宇宙中没有足够的纸和墨水，可以把所有的巨型数字写下来。所以我们对巨型数字的理解力是极其有限的。我们知道有这样的数字，但是我们不能正确地想像它们。
但是数学有趣的问题不只是表现在这些巨型数字上，在微小中也有引人入胜之处。你不妨迅速地将一把尺子拿在手中，你看到：每一个厘米分成10个等份，这就是毫米。这种除法的背后的原则是十进制，我们也用它来写下我们的数字：我们用0，1，2，3，4，5，6，7，8和9这10个数字写所有我们的数字，既写年份数字2001，也写十进分数0。33333……。于是每一个毫米就可以重新被分成10个等份，而这些等份中的每一个等份又可以被分成10个等份，这可以没有止境地继续进行下去。你已经猜到了：这个简单的"分成10个等份原则"的应用，像在巨型数字上那样，也会很快地把我们引向艰难的问题。
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